문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 로런츠 군 (문단 편집) === [math(O(3))]의 표현 === 로런츠 군의 표현을 알고자 한다면 먼저 [math(O(3))]의 표현부터 알아야 한다. [math(O(3))]의 표현으로부터 로런츠 군의 표현 자체 혹은 그 힌트를 얻을 수 있기에 이는 중요하다.[* 미리 이야기해 놓자면, [math(O(3))]는 단순 리 군들 중(물론 자명하지 않고(원소가 하나 뿐만 군이 아니고) Abelian이지 않은 것들 중)에서 가장 간단한 군이다. 정확하게는 [math(SL(2))]가 바로 그것인데, 이 두 군의 리 대수는 (복소 공간에서) 완전히 똑같다.] [math(O(3))]의 표현을 구한다는 것은 사실 이 군에 해당하는 리 대수의 표현을 얻는다는 것과 동치이다. 주어진 리 군의 모든 원소들은 다음과 같이 표현될 수 있기 때문이다. {{{+1 [math(g = g_1 \exp{(iA)}.)] }}}[* ~~으아니, 왜 행렬로 지수를?~~ [math(\exp{A})]는 일반적으로 [math(\sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} A^n)]로 정의된다. 이렇게 정의를 하면 행렬 뿐 아니라 많은 대수적 영역에서 exponential을 다룰 수 있다. 한편 행렬도 아닌 일반적인 리 군(다만 이때에는 일단 다양체이긴 해야 한다), 리 대수의 경우에는 벡터 흐름(vector flow)이란 것으로 이를 정의한다.][* 원래 수학에서는 [math(iA)]가 아닌 [math(A)]로 표현한다. 이 때문에 리 대수의 연산 구조마저 조금 바뀌게 된다. 적당한 치환을 해 주면 별 문제가 없기에 이런 차이가 대단한 문제를 일으키는 것은 아니다. 수학에서 다루는 표기와 물리에서 다루는 표기가 다르다는 것을 보여주는 한 예가 되겠다.] 여기서 [math(g_1)]는 1 혹은 1을 포함한 컴포넌트가 아닌 다른 컴포넌트[* 리 군은 기본적으로 위상공간인데, 일반적으로 위상공간은 연결되어 있지 않은 여러 컴포넌트들을 가질 수 있다. 대표적인 예로 determinant가 0이지 않은 [math(n \times n)]-행렬들을 모은 군이 그런데, 이 군은 determinant가 0보다 큰 영역과 0보다 작은 영역 두 개로 나눠지며, 이들은 연결되어 있지 않다.]에 포함된 한 원소이고, [math(A)]는 리 군에 대응하는 리 대수의 한 원소이다. [math(g_1)]를 정하거나 표현하는 것은 별개이나 그리 대단한 것은 아니므로 사실 상 대응하는 리 대수, 즉 [math(A)]들을 어떻게 표현하느냐가 관건이다. 한 가지 짚고 넘아가자. 이미 우리는 [math(O(3))] 혹은 [math(o(3))]의 두 표현 방법을 알고 있다. 스칼라의 변환에 대한 표현과 벡터의 회전 변환에 대한 표현이 그것이다. 게다가 우리가 알고 있는 [math(O(3))]의 정의는 어떤 특정한 조건([math(O^T O = 1)])을 만족하는 [math(3 \times 3)]-행렬들이라는 것이다. 그런데 이 정의는 사실 벡터의 회전 변환에 대한 표현만 갖고 있고 스칼라의 변환에 대한 정보는 하나도 없다. 심지어 일반적인 텐서의 변환[* 3차원에서도 텐서가 정의된다. 예를 들어 관성 모먼트 텐서가 그것이다. 나중에 자세한 내용을 소개할 것이다.]에 대한 정보도 그렇다. 이러한 상황에서 '모든 표현'을 찾는 방법은 기존의 표현을 버리는 것인데, 이것은 말 그대로 '''추상화를 하겠다'''는 것이다. 여기서 주어진 리 군의 추상화를 한다는 것은 리 군의 원소들이 원래 행렬이었다는 정보 등을 싸그리 잊어버리고 오로지 이름만 남은 원소들과 그 곱셈 관계, 그리고 위상적 성질만 남겨두겠다는 것이다. 그러고 나서 이 정보를 담을 수 있는 '그릇'이 처음에 썼던 그릇([math(3 \times 3)]-행렬) 말고도 또 있는가를 찾는 것이다. 이러한 설명에서 '그릇'이 곧 '표현'인 셈이다. 그런데 리 군 자체로 표현을 찾는 것은 쉬운 일이 아니다. 다만 대안이 하나 있다. 바로 리 대수를 이용하는 것이다. 리 군이 가지는 최소한의 정보만 남겨 놓고 싹 다 버리게 되었을 때 리 대수 역시 정말 필요한 정보만 빼고 모든 내용을 다 버리게 되는데, 리 대수의 벡터 공간적 성질(차원 등)을 제외하고 남게 되는 정보가 바로 리 괄호 [math([\cdot, \cdot])]에 의한 연산 관계이다. 즉, 연산 [math([\cdot, \cdot])]이 주어진 어떤 벡터 공간이라는 뜻이다. 처음 정의대로였다면 이 리 괄호는 [math([A, B] = AB - BA)]로 정의되어 있었을 것이다. 하지만 추상화를 거치고 나면 저 괄호가 저런 형태였는지조차 모르게 된다.[* 이 상황에서 '''행렬 곱마저 없어지게 된다!'''] 다만 [math([A, B])]가 어느 원소에 대응되는지 하는 정보와 리 괄호가 가져야 할 가장 기본적인 성질들인 이중선형성(bilinearity), 반대칭성(antisymmetry, [math([A, B] = -[B, A])]), 그리고 야코비 항등식(Jacobi identity, [math([A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0)])만이 남을 뿐이다. 자세한 것은 [[리 대수]] 문서 참조. 이런 게 왜 중요하냐면, 리 군보다 리 대수를 다루는 것이 훨씬 쉬우며, 더군다나 모든 정보를 다 지운 상태에서 주어진 리 군에 대응하는 리 대수만 다루는 것만으로도 리 군의 거의 모든 것을 다룰 수 있게 되기 때문이다.[* 정확하게는 해당 리 군의 컴포넌트들 중 단위원을 포함한 컴포넌트에 대한 것만 해당된다. 하지만 컴포넌트들 간의 관계를 파악하는 것은 보통 매우 간단한 일이다.] 따라서 [math(O(3))]의 표현으로 무엇이 있는가를 알고 싶다면 [math(O(3))]에 대응하는, 그리고 추상화가 된 (모든 떨거지 정보들을 다 버린, 즉 리 괄호 관계 빼고 다 버려진) 리 대수 [math(o(3))]를 조사해 봐야 한다는 것이다. [math(O(3))]에 해당하는 리 대수 [math(o(3))]는 다음을 만족하는 세 원소들의 선형 결합으로 표현된다. {{{+1 [math([J_1, J_2] = iJ_3, \;\; [J_2, J_3] = iJ_1, \;\; [J_3, J_1] = iJ_2,)] }}} 사실 [math(O(3))]의 원소들 중 행렬식이 1인 것들은 모두 [math(\exp{(i\sum_i J_i \theta_i)})]로 표현되는데, 이 변환은 [math(\vec{\theta} = (\theta_1, \theta_2, \theta_3))]와 같은 방향을 축으로 하여 [math(|\vec{\theta}|)]만큼의 각도(라디안)로 회전시키는 변환이다. 이렇게 표현했을 때 [math(J_i)]들의 리 괄호 관계는 정확하게 위와 같게 된다. 그리고 필요한 리 괄호 관계는 이 정도가 다이다. 앞서 말했듯이 이 정보와 리 괄호가 갖춰야 할 세 가지 조건 빼고 다른 건 아예 모른다고 할 것이다. 하지만 이 최소한의 정보만으로도 [math(o(3))], 혹은 [math(O(3))]의 어떤 표현이 가능한가를 모두 알아낼 수 있다. 여기서 다음을 생각해 보자. {{{+1 [math(H = 2J_3, \;\; E = J_1 + iJ_2, \;\; F = J_1 - iJ_2.)] }}} 그러면 다음이 만족된다. {{{+1 [math([H, E] = 2E, \;\; [H, F] = -2F, \;\; [E, F] = H.)] }}} 이제 이 리 대수의 표현을 이야기해 보자. 알아먹기 편하도록 하기 위해 벡터 공간과 선형 연산, 동형사상 같은 추상적인 언어 대신 행렬로 표현해 보겠다. 사실 유한 차원의 표현에서 행렬로 말하는 거나 추상적인 언어로 말하는 거나 사실 거의 같은 말이다. 선형 연산자 하나를 행렬로 표현하는 방법이 무한히 많다는 점만 뺀다면.[* 이렇게 해서 얻은 행렬들을 가리켜 similar 행렬이라고 부른다. 이런 행렬들 중 어느 두 개 [math(X_1, X_2)]를 골라도 [math(X_2 = AX_1 A^{-1})]를 만족하는 어떤 행렬 [math(A)]가 존재한다. 이런 상황은 한 선형 연산을 행렬로 표현할 때 어떤 기저로 표현하느냐에 따라 그 결과가 다르다는 점에 기인한다. 이 문서에서 그런 미묘한(subtle) 문제는 생각하지 않기로 한다.] 다만 행렬로 표현한다고 했을 때 기존의 리 괄호 연산은 행렬에서의 교환자 연산에 그대로 전해져야 한다. 무슨 말이냐면 리 대수의 두 원소 [math(A, B)]의 행렬 표현 [math(\rho(A), \rho(B))]에 대하여 [math([A, B])]의 행렬 표현은 [math([\rho(A), \rho(B) ] = \rho(A) \rho(B) - \rho(B) \rho(A))]와 같아야 한다. 위에서 얻은 [math(H, E, F)]가 어떤 [math((n + 1) \times (n + 1))]-행렬로 표현된다고 가정하자. (편의 상 이들 행렬도 [math(H, E, F)]로 표기하기로 하자.) 관건은 각 자연수 [math(n)]에 대하여 가능한 표현이 얼마나 되는가를 알아보고자 하는 것이다. 여기서 만약 두 표현 [math((H_1, E_1, F_1))]과 [math((H_2, E_2, F_2))]에 대하여 어떤 행렬 [math(A)]가 존재하여 [math(H_2 = AH_1A^{-1}, E_2 = AE_1A^{-1}, F_2 = AF_1A^{-1})]가 성립한다면 두 행렬에 의한 표현은 같은 표현이라고 말한다. 이것은 선형 연산의 언어로 보면 당연한 얘기겠지만... 한편, 행렬로 리 대수를 표현하다 보면 이런 꼴로 행렬들이 표현될 수도 있을 것이다. {{{+1 [math(H = \left( \begin{array}{rrrr} H_1 \;\; && 0 \;\; && \cdots \;\; && 0 \\ 0 \;\; && H_2 \;\; && \cdots \;\; && 0 \\ \vdots \;\; && \vdots \;\; && \ddots \;\; && \vdots \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cdots \;\; && H_r \end{array} \right), E = \left( \begin{array}{rrrr} E_1 \;\; && 0 \;\; && \cdots \;\; && 0 \\ 0 \;\; && E_2 \;\; && \cdots \;\; && 0 \\ \vdots \;\; && \vdots \;\; && \ddots \;\; && \vdots \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cdots \;\; && E_r \end{array} \right), F = \left( \begin{array}{rrrr} F_1 \;\; && 0 \;\; && \cdots \;\; && 0 \\ 0 \;\; && F_2 \;\; && \cdots \;\; && 0 \\ \vdots \;\; && \vdots \;\; && \ddots \;\; && \vdots \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cdots \;\; && F_r \end{array} \right).)] }}} 여기서 각 [math(i = 1, 2, \cdots, r)]에 대해 [math(H_i, E_i, F_i)]는 다 크기가 같은 행렬들이며 심지어 [math([H_i, E_i] = 2E_i, [H_i, F_i] = -2F_i, [E_i, F_i] = H_i)]가 성립한다. 지금 우리가 다루고 있는 리 대수의 경우 항상 이렇게 분해(decomposition)가 될 수 있다는 매우 좋은 성질을 가지고 있다.[* 모든 리 대수에 대해서 이런 결과가 성립하는 것은 아니다. J. E. Humphreys의 Introduction to Lie Algebras and Representation theory 중 Chapter II, Section 6의 연습문제 5.(c)를 보자. 구체적인 예를 든 건 아니지만, 어쨌든...][* 행렬의 크기가 무한해지면 또 이야기가 달라진다. J. E. Humphreys의 같은 책에서 Chapter II, Section 7의 연습문제 7번을 보자.] 사실 상 더 작은 '표현'들의 결합으로 표현될 수 있다는 것이다. 이걸 거꾸로 말해 보자. 이 리 대수의 표현들을 모두 알고 싶다면 더 작게 분해가 안 되는, 즉 위와 같이 분해하려고 해도 [math(r = 1)]인 결과 밖에 안 나오는 그런 표현들만 조사하면 된다. 어차피 다른 표현들은 이 분해가 안 되는 표현들의 결합일 것이기 때문이다. 이런 분해가 안 되는 표현들을 기약 표현(irreducible representation)이라고 부른다. 따라서 앞으로 다루게 될 내용은 기약 표현에만 한정할 것이다. 즉, 어떤 기약 표현이 가능한가를 분류해 보겠다는 것이다. [math(H)]가 항상 대각화가 가능하다는 것을 보일 수 있다. 증명은 생략하겠지만...[* 순수 리 대수의 언어에서는 다소 복잡하다. 하지만 이런 단순한 케이스에서는 그렇게 어렵지 않다. 후술하겠지만 웬만한 학부 양자역학 교재에 다 나온다.] 그렇다는 것은 어떤 행렬 [math(A)]가 존재하여 [math(AHA^{-1})]가 대각행렬이라는 뜻이 된다. 이제 [math(AHA^{-1}, AEA^{-1}, AFA^{-1})]로 [math(H, E, F)]를 대신해서 쓰자. 이렇게 얻은 행렬 역시 올바른 표현이 맞다는 것을 바로 확인할 수 있다. 물론 이렇게 해서 얻은 새로운 표현은 앞서 설명했듯이 결국 처음 표현과 동일한 표현이겠지만. [math(Hv_\lambda = \lambda v_\lambda)]인 [math(H)]의 한 고유벡터에 해당하는 [math((n + 1) \times 1)]-행렬 [math(v_\lambda)]를 생각해 보자. 그러면 다음을 얻을 수 있다. {{{+1 [math(H(Ev_\lambda) = (HE)v_\lambda = ([H, E] + EH)v_\lambda = +2Ev_\lambda + E(Hv_\lambda) = (\lambda + 2)(Ev_\lambda), )] }}} {{{+1 [math(H(Fv_\lambda) = (HF)v_\lambda = ([H, F] + FH)v_\lambda = -2Fv_\lambda + F(Hv_\lambda) = (\lambda - 2)(Fv_\lambda).)] }}} 이로부터 얻을 수 있는 결론은 [math(E)]와 [math(F)]가 각각 고유벡터를 두 칸 위로 옮기거나 혹은 아래로 옮기는 연산에 해당한다는 것을 알 수 있다. 즉, [math(Ev_\lambda = e_\lambda v_{\lambda + 2}, Fv_\lambda = f_\lambda v_{\lambda - 2})]에 해당한다는 것이다. 물론 [math(e_\lambda, f_\lambda)]가 아직 뭔지 모른다. 사실 [math(\lambda, e_\lambda, f_\lambda)]가 무슨 값을 가질 수 있는가를 조사하는 것으로 가능한 행렬 표현을 모두 구하는 문제를 풀 수 있다. 이것들을 구하면 [math(H, E, F)] 각각의 성분들을 모조리 알게 된 것과 같은 거니까. 이걸 구하기 전에 하나 더 살펴 보자. 지금 우리는 유한한 크기의 행렬을 다루고 있다. 그런데 만약 [math(Fv_\lambda = 0)]인 [math(v_\lambda)]가 존재하지 않는다면, 아무렇게나 잡힌 다음에 고정된 [math(\lambda)]에 대하여 [math(v_{\lambda - 2}, v_{\lambda - 4}, v_{\lambda - 6}, \cdots)]들이 모두 존재하게 되어 가능한 고유벡터들이 무한히 많아진다는 것을 알 수 있다. 이를 위해선 필요한 행렬의 크기가 무한히 커야 한다. 이런 모순이 일어나지 않으려면 적당한 고유값 [math(\lambda_0)]가 존재하여 [math(Fv_{\lambda_0} = 0)]이어야 한다. 한편 같은 이유로 모든 고유값 [math(\lambda)]에 대하여 [math(Ev_\lambda \ne 0)]일 수는 없다. 이로부터 어떤 자연수 [math(r)]가 존재해 [math(E^{r + 1} v_{\lambda_0} = 0)]이어야 한다는 것을 알 수 있다. 한편 이러한 [math(\lambda_0)]가 하나 더 존재한다고 가정해 보자. 이러한 고유값을 [math(\mu_0)]라고 표기하자. 즉, [math(Fv_{\mu_0} = 0)]라고 가정하자. [math(E^{s + 1} v_{\mu_0} = 0)]라고 가정하자. 이런 게 존재한다면 지금 다루고 있는 리 대수는 [math((v_{\lambda_0 + 0}, v_{\lambda_0 + 2}, \cdots, v_{\lambda_0 + 2r}))]와 [math((v_{\mu_0 + 0}, v_{\mu_0 + 2}, \cdots, v_{\mu_0 + 2s}))] 이렇게 둘로 쪼개서 얻은 벡터 공간들 각각에 독립적으로 리 대수의 표현으로 작용이 된다는 것을 알 수 있다. 이는 앞서 가정한 기약 표현 가정과 모순이다. 따라서 [math(\lambda_0)] 같은 것은 하나만 있어야 한다. 한편 [math(\lambda_0 + 2i)] ([math(i = 0, 1, 2, \cdots)])와 같은 꼴이 아닌 고유값 [math(\mu)]가 만약 존재한다면 앞에서 설명했던 방식에 의하여 [math(F^j v_\mu = 0)]인 자연수 [math(j)]가 존재해야 하며 이는 곧 [math(Fv_{\mu - 2j + 2} = 0)]를 의미하여 (물론 [math(F)]가 잘 정의되어 있기에 [math(\mu - 2, \mu - 4, \cdots, \mu - 2j + 2)]들 역시 고유값이다) 모순을 만든다. 따라서 [math(H)]의 고유값은 [math(\lambda, \lambda + 2, \lambda + 4, \cdots, \lambda + 2r)] 뿐임을 알 수 있다. 같은 방식으로 각 고유값에 해당하는 고유벡터는 (스칼라 곱에 의한 차이를 무시했을 때) 하나 뿐이라는 것을 알 수 있다. 만약 존재한다면 앞에서 보인 방식으로 지금 표현이 분해가 가능하다는 것을 보일 수 있기 때문이다. 추가로 행렬의 크기를 [math((n + 1) \times (n + 1))]로 잡았기에 [math(r = n)]라는 것을 알 수 있다. 이제 [math(\lambda_0, e_\lambda, f_\lambda)]가 어떤 값을 가질 수 있는지를 살펴 보자. 그 전에 먼저 [math(v_{\lambda_0}, v_{\lambda_0 + 2}, \cdots, v_{\lambda_0 + 2n})]를 잘 세팅해 보자. 각 자연수 [math(m)]에 대하여 [math(E^m v_{\lambda_0})]는 [math(v_{\lambda_0 + 2m})]의 스칼라 배이다. 게다가 각 [math(m)]에 대해 [math(v_{\lambda_0 + 2m})]는 (스칼라 배수를 무시했을 때) 유일하다. 따라서 [math(v_{\lambda_0 + 2m})] 대신 [math(E^m v_{\lambda_0})]를 갖다 놔도 별 문제가 없다는 것이다. 물론 [math(H, E, F)]의 행렬 표현이 좀 달라지겠지만 이 새로운 표현도 결국 처음 표현과 똑같은 표현이기에 ([math(H \to AHA^{-1})] 등으로 바뀐 것일 뿐이기에) 상관 없다. 다만 [math(E^m v_{\lambda_0})] 대신에 [math(v_m = a_m E^m v_{\lambda_0})]으로 교체하기로 한다. 여기서 {{{+1 [math(a_m = \frac{1}{\sqrt{m! (-\lambda_0)(-\lambda_0 - 1)(-\lambda_0 - 2) \cdots (-\lambda_0 - m + 1)}})] }}} 로 정하겠다.[* 굳이 이런 복잡한 걸로 잡지 않아도 된다. 실제로 수학자들은 [math(a_m)]를 그냥 [math(1/m!)]로 보통 잡는다. (유리수 집합처럼 모든 스칼라 값에 제곱근이 정의되지 않는 일반적인 경우를 고려하면 더더욱 그래야 할 것이다.) 그럼에도 굳이 이렇게 잡는 이유는 [math(E)]와 [math(F)]가 서로 Hermite conjugate 관계에 있도록 하기 위해서이다.] 그러면 {{{+1 [math(\frac{a_{m + 1}}{a_m} = \frac{1}{\sqrt{(m + 1)(-\lambda_0 - m)}})] }}} 임을 이용하여 일단 다음을 얻는다. {{{+1 [math(Hv_m = (\lambda_0 + 2m) v_m, \;\; Ev_m = \sqrt{(m + 1)(-\lambda_0 - m)} v_{m + 1}.)] }}} 한편, 0이 아닌 [math(m)]에 대하여 {{{+1 [math(Fv_m = FE \left( \frac{1}{\sqrt{m(-\lambda_0 - m + 1)}} v_{m - 1} \right) = \frac{1}{\sqrt{m(-\lambda_0 - m + 1)}} (EF - [E, F]) v_{m - 1})]}}} {{{+1 [math(\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{\sqrt{m(-\lambda_0 - m + 1)}} (EFv_{m - 1} - Hv_{m - 1}))] }}} {{{+1 [math(\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{\sqrt{m(-\lambda_0 - m + 1)}} (EFv_{m - 1} - (\lambda_0 + 2m - 2)) v_{m - 1})] }}} 임을 알 수 있는데, [math(m = 1)]이면 [math(Fv_{m - 1} = Fv_{\lambda_0} = 0)]임을 통해 위 식을 바로 계산할 수 있는 등, 수학적 귀납법을 통해 다음을 알 수 있다. {{{+1 [math(Fv_m = \sqrt{m(-\lambda_0 - m + 1)} v_{m - 1} \;\;\; (m > 0, F v_0 = 0).)] }}} 이 결과는 만약 [math(\lambda_0)]가 정해져 있다면 [math(H, E, F)]의 행렬 표현이 위의 식들에 의하여 유일하게 결정된다는 것을 말해준다. 마지막으로 [math(E^{n + 1} v_{\lambda_0} = 0)] 혹은 [math(Ev_n = 0)]을 이용해 다음 결과를 얻을 수 있다. {{{+1 [math((\lambda_0 + 2n) v_n = Hv_n = (EF - FE) v_n = EF v_n = E \left( \sqrt{n(-\lambda_0 - n + 1)} v_{n - 1} \right))] }}} {{{+1 [math(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt{n(-\lambda_0 - n + 1)} (\sqrt{((n - 1) + 1)(-\lambda_0 - (n - 1))} v_n))] }}} {{{+1 [math(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( -n\lambda_0 - n(n -1) \right) v_n.)] }}} 따라서, [math(\lambda_0 + 2n = -n \lambda_0 - n(n - 1))]를 얻게 되는데, 이는 항상 만족되어야 하는 식이고, 그러기 위해선 [math(\lambda_0 = -n)]이어야 함을 알 수 있다. 결국 [math(\lambda_0)]도 각 (0을 포함한) 자연수 [math(n)]에 대하여 유일하게 결정됨을 알 수 있다. 즉, 각 [math(n = 0, 1, 2, \cdots)]에 대하여 [math((n + 1) \times (n + 1))]-행렬로 쓰여지는 가능한 [math(o(3))]의 기약 표현은 (similar matrix 관계에 있는 표현들을 같은 걸로 치면) 유일하며, 그 결과는 위에서 구해진 식들, 즉 {{{+1 [math(Hv_m = \left( -n + 2m \right) v_m \;\; (m = 0, 1, 2, \cdots, n), )]}}} {{{+1 [math(Ev_m = \sqrt{(m + 1)(n - m)} v_{m + 1} \;\; (m = 0, 1, 2, \cdots, n - 1), \;\; Ev_n = 0, )]}}} {{{+1 [math(Fv_m = \sqrt{m(n - m + 1)} v_{m - 1} \;\; (m = 1, 2, \cdots, n), \;\; Fv_0 = 0)] }}} 로 정해진다. 또한 앞서 언급했듯이 기약 표현이 아닌 다른 표현들은 적당한 기약 표현들의 결합으로 표현이 가능하다. 따라서 모든 표현을 구한 셈이다. 이 이론은 리 이론의 가장 기본이 되는 내용 중 하나이다. 사실 [math(H, E, F)]의 선형 결합들로 이루어진 공간은 잘 정의된 리 대수이고, 이 리 대수는 [math(sl(2))]로 표현된다. 이 리 대수는 단순 리 대수(simple Lie algebra)들 중 가장 작은 것이며, 이 리 대수로부터 모든 단순 리 대수에 대한 이론이 출발한다. 물론 맨 위의 관계를 봤을 때 [math(o(3))]와 [math(sl(2))]는 완전히 똑같은 리 대수이다.[* 단, 스칼라가 복소수 전체일 경우에 그렇다. 만약 스칼라를 실수로만 한정한다면 이런 주장을 할 수 없게 된다. 사실 우리에게 익숙한 그 회전을 다루고자 한다면 스칼라는 실수 뿐이어야 한다. 이런 것까지 고려하면 골치가 아파진다. 하지만 표현을 구하는 문제에서는 잠시 스칼라를 복소수 전체로 잡아 두고 이론을 전개해도 큰 문제는 없다.] 결과적으로 [math(o(3))]의 모든 표현을 구한 것이고, 이로부터 [math(O(3))]의 모든 표현을 구한 셈이다. 이제부터 각 [math(n)]에 해당하는 기약 표현에 대해 [math(s = \frac{n}{2})]를 부여하곘다. [math(s = 1)]인 경우는 우리에게 이미 친숙한 결과이다. 이 경우 행렬 표현은 다음과 같다. {{{+1 [math(H = \left( \begin{array}{rrr} -2 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 2 \end{array} \right), \;\; E = \left( \begin{array}{rrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ \sqrt{2} \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && \sqrt{2} \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; F = \left( \begin{array}{rrr} 0 \;\; && \sqrt{2} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \sqrt{2} \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right).)] }}} [math([H, E] = 2E, [H, F] = -2F, [E, F] = H)]를 간단하게 확인할 수 있다. 한편, [math(J_1' = \frac{1}{2} (E + F), J_2' = \frac{1}{2i} (E - F), J_3' = \frac{1}{2} H)]로 두면 이들은 다음과 같음을 알 수 있다. {{{+1 [math(J_1' = \left( \begin{array}{rrr} 0 \;\; && \frac{1}{\sqrt{2}} \;\; && 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \;\; && 0 \;\; && \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \;\; && \frac{1}{\sqrt{2}} \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; J_2' = \left( \begin{array}{rrr} 0 \;\; && \frac{1}{\sqrt{2}} i \;\; && 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} i \;\; && 0 \;\; && \frac{1}{\sqrt{2}} i \\ 0 \;\; && -\frac{1}{\sqrt{2}} i \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; J_3' = \left( \begin{array}{rrr} -1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \end{array} \right).)] }}} 그리고 {{{+1 [math(A = \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{2}} \;\; && 0 \;\; && -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \;\; && 0 \;\; && -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \end{array} \right))] }}} 라 두자. 그러면 [math(J_i = AJ_i'A^{-1})]는 각각 다음과 같게 된다. {{{+1 [math(J_1 = \left( \begin{array}{rrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -i \\ 0 \;\; && i \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; J_2 = \left( \begin{array}{rrr} 0 \;\; && 0 \;\; && i \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ -i \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; J_3 = \left( \begin{array}{rrr} 0 \;\; && -i \;\; && 0 \\ i \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right).)] }}} 리 군 이론에 어느 정도 익숙한 사람이라면 이 행렬들이 익숙할 것이다. 만약 [math(U_i = \exp{(iJ_i \theta)})]를 계산한다면 다음을 얻을 것이다. {{{+1 [math(U_1 = \left( \begin{array}{rrr} 1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && \cos{\theta} \;\; && \sin{\theta} \\ 0 \;\; && -\sin{\theta} \;\; && \cos{\theta} \end{array} \right), \;\; U_2 = \left( \begin{array}{rrr} \cos{\theta} \;\; && 0 \;\; && -\sin{\theta} \\ 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \\ \sin{\theta} \;\; && 0 \;\; && \cos{\theta} \end{array} \right), \;\; U_3 = \left( \begin{array}{rrr} \cos{\theta} \;\; && \sin{\theta} \;\; && 0 \\ -\sin{\theta} \;\; && \cos{\theta} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \end{array} \right).)] }}} 정확하게 각 축에 대한 회전 변환을 나타내는 행렬들이다. 이런 식으로 [math(O(3))]의 3차원([math(s = 1)]인 경우)에서의 표현은 우리가 잘 아는 3차원 벡터 공간의 회전 변환으로 나타내어진다는 것을 알 수 있다. 위와 같이 괜히 어려운 것 같은 (...) 설명이 필요한 이유는 맨 위에서 설명했었다. 로런츠 변환의 종류를 알고 싶다면 로런츠 군의 표현 방법들을 모두 알아야 한다는 것이었다. 지금은 로런츠 변환보다 간단한 경우인 [math(O(3))]의 경우부터 다룬 것이다. 그리고 지금까지 다룬 결과에 따르면 우리가 아는 뉴턴 역학의 3차원 벡터들에 대한 관성 좌표계 변환이 [math(O(3))]의 표현들 중 [math(s = 1)]에 해당하는 표현으로 설명됨을 보았다. 한편, 텐서 곱(tensor product)[* 두 공간 [math(V_1, V_2)]의 텐서 곱 [math(V_1 \otimes V_2)]를 말한다. 두 공간이 주어진 리 대수의 표현이라면 저 텐서 곱 역시 표현이 될 수 있다. 하지만 두 공간을 단순히 결합한 (direct sum으로 결합한) 것과는 다르다.]와 클렙시-고든 계수(Clebsch-Gordon coefficient)[* 일반적으로 텐서 곱으로 만들어진 새로운 표현은 기약 표현이 아니다. 물론 기약 표현들의 결합(direct sum)으로 나타내어지긴 하는데, 구체적으로 어떻게 결합되어 있는지는 따로 조사해 봐야 한다. 클렙시-고든 계수는 그 결합 방식을 설명해 주는 방법 중 하나이다.] 등을 이용하여 3차원에서의 텐서, 즉 회전 변환 행렬 [math(U)]에 대하여 {{{+1 [math(T_{r_1 r_2 \cdots r_m} \to \sum_{s_i} U_{r_1 s_1} U_{r_2 s_2} \cdots U_{r_m s_m} T_{s_1 s_2 \cdots s_m})] }}} 와 같이 변환하는 물리량[* 대표적인 예로 관성 모먼트 텐서가 있다.]들도 얻을 수 있게 된다. 물론 가장 간단한 스칼라의 경우는 [math(s = 0)]인 경우고. 그런데 위와 같은 방식으로 얻은 물리량들은 모두 [math(s)]가 정수인 표현으로 그 변환이 나타내어지는 물리량들이다. 스칼라([math(s = 0)])도 그렇고 벡터([math(s = 1)])도 그렇고 클렙시-고든 계수를 동원하여 조사해 보면 모든 텐서들에 쓰이는 표현은 [math(s)]가 정수인 경우 뿐임을 알 수 있다. 하지만 [math(s = \frac{n}{2})]의 [math(n)]은 짝수 뿐만 아니라 홀수까지 모두 가능한 값이다. 즉, [math(s)]가 (정수가 아닌) 반정수인 표현으로 나타내는 물리량은 없는 걸까? 이 질문을 최초로 생각해낸 사람이 바로 [[볼프강 에른스트 파울리|볼프강 파울리]]였다. 그는 [math(O(3))]의 표현들을 조사하면서 위와 같은 상황에 봉착한 것이다. 사실 위에서 쭉 설명한 내용들은 웬만한 학부 양자역학 교재에 실려 있는 각운동량 연산자들의 표현에 대한 설명이기도 하다. 실제로 그 내용과 거의 닮아 있음을 알 수 있다.[* 다만 양자역학 교재들에서는 [math(H)]의 대각화를 이용하기보다 카시미르 연산자(Casimir operator)를 이용한다. 이 문서에서는 수학적인 방법을 따랐다.] 이 연산자들의 교환자들이 신기하게도 [math(J_i)]들의 리 괄호 연산에 의한 관계와 똑같기 때문이다.[* 우연은 아니다. 실제로 각운동량은 각도에 대한 정준켤레운동량(canonical conjugate momentum)에 해당하는 값인데, 이 연산자들은 각도를 더하는 연산자의 미소 변환과 자동으로 같게 되기 때문이다.] 3차원 슈뢰딩거 방정식을 해석적(analytic)으로 풀 때에는 [math(s)]가 정수인 표현에 해당하는 물리량만 나타난다는 것을 알 수 있고, 이는 양자역학 교재에도 잘 설명이 되어 있는 사실이다. 그런데 각운동량 연산자들만 놓고 위와 같이 대수적으로 접근하면 새로운 표현들이 가능하다는 것을 파울리는 눈여겨 본 것이다. 물론 그 수학적인 결과야 이미 오래 전에 밝혀진 것이긴 하지만 물리에 구체적으로 적용된 것은 파울리가 처음 시도한 것인 셈이다. 파울리는 이리저리 표현들을 뒤적인 결과로 어떤 새로운 종류의 각운동량이 있을 것이라고 예언했다. 소위 반정수 스핀이 그것이다. 그리고 이 예언은 그 유명한 [[슈테른-게를라흐 실험]](Stern-Gerlach experiment)에 의하여 맞다는 것이 밝혀지게 된다. 즉, 반정수 스핀이 실재한다는 것을 발견한 것이다. 다르게 말하자면 [math(s)]가 반정수인 표현으로 변환이 되는 물리량이 존재한다는 것이 밝혀진 것이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기